Nato da una famiglia povera, inizia a lavorare fin da giovanissimo come manovale. A venti anni è venditore ambulante de l'Unità, l'organo di stampa del Partito Comunista Italiano. I dirigenti della locale sezione del partito intravedono in lui particolari doti politiche e lo inviano alla Scuola delle Frattocchie. Al suo rientro, sei mesi dopo, diviene segretario dei Giovani Comunisti e si sposa.

Dopo qualche tempo però inizia ad intrattenere una relazione con una compagna di partito, a seguito della quale, per lo scandalo destato, viene espulso dal PCI. Murgia emigra quindi in Belgio a Marcinelle, il grande centro carbonifero che vede impiegati come minatori diverse migliaia di lavoratori italiani. Anche lì stabilisce una relazione sentimentale con la moglie di un collega belga e scampa rocambolescamente alla morte quella notte fatale del disastro di Marcinelle, nel quale un'esplosione di gas uccide tutti i minatori del suo turno, compreso il marito della signora. Murgia infatti si era finto malato per potersi intrattenere con la donna. Questa storia è comunque ritenuta probabilmente falsa. Ed è stata pubblicata la prima volta nel 1959 sul settimanale Gente, in un ampio servizio a firma del noto romanziere e giornalista Renato Barneschi dedicato a Murgia dal titolo "Ferribotte ha trovato l'amore sul continente".

Murgia ritorna nella sua città natale ma è costretto ad emigrare a Roma per sfuggire all'ira dei familiari di un'altra giovane donna che egli corteggia nonostante sia già sposata. Nella capitale inizia a lavorare come lavapiatti in una trattoria del centro (Il re degli amici) fin quando viene notato da un assistente del regista Mario Monicelli, che lo invita in studio per un provino. Il regista toscano gli affida il ruolo di Ferribotte (storpiatura di ferry boat, il traghetto che unisce la Sicilia al continente), il gelosissimo e possessivo immigrato siciliano, nella banda di inesperti e pasticcioni malavitosi romani che, nel capolavoro della commedia all'italiana del 1958, I soliti ignoti, tenta di assaltare senza successo la cassaforte del Monte dei Pegni.

Pur essendo sardo, Murgia rimarrà fedele al personaggio e allo stereotipo caricaturale del siciliano per gran parte delle sue apparizioni cinematografiche che si articoleranno, con una certa regolarità, per tutti i 40 anni successivi, attraversando i principali generi popolari del nostro cinema recente, e, proprio in quanto sardo, viene doppiato con cadenza sicula da attori quali Renato Cominetti, Ignazio Balsamo e Michele Gammino. Il grande pubblico lo ricorderà certamente per la sua mimica facciale, gli occhi spesso socchiusi e le sopracciglia perennemente arcuate e folte, il capo leggermente rivolto all'indietro nella rappresentazione satirica di un siciliano diffidente e ostinato.

Lo stesso stereotipo sarà anche sfruttato in pubblicità: Tiberio Murgia infatti sarà per molti anni testimonial di una nota marca di caffè nei caroselli televisivi. Sempre nei panni di Ferribotte prende parte al séguito de I soliti ignoti (Audace colpo dei soliti ignoti) diretto da Nanni Loy nel 1960 e, sempre al fianco di Marcello Mastroianni e Vittorio Gassman, conclude la saga nel 1987 con il film di Amanzio Todini, I soliti ignoti vent'anni dopo. Sempre per la regia di Mario Monicelli prende parte, nel ruolo secondario del soldato Nicotra, ne La grande guerra del 1959 e, al fianco di Monica Vitti, ne La ragazza con la pistola del 1968.

Gli anni Sessanta lo vedono partecipare, sempre in ruoli di comprimario, in molte produzioni a carattere parodistico e allecommedie leggere tipiche del cinema italiano di quel periodo. Per la regía di Sergio Corbucci è al fianco di Totò ne Il giorno più corto del 1962 mentre nel 1961 aveva recitato a fianco di Franco Franchi e Ciccio Ingrassia nel film L'onorata società. Nel 1966, per la regía di Vittorio De Sica, veste i panni di un investigatore in Caccia alla volpe mentre nei primi anni settanta compare in diverse produzioni appartenenti al genere decamerotico, sotto la regía di Mariano Laurenti.

Tiberio Murgia è attivo anche per gran parte degli anni Ottanta e compare in diverse delle commedie interpretate daAdriano Celentano per la direzione di Franco Castellano e Giuseppe Moccia, sodalizio artistico di sceneggiatori meglio conosciuto come Castellano e Pipolo, nonché in diversi film diretti da Nando Cicero e appartenenti a quel genere di commedia minore e scollacciata che attingendo soprattutto al vasto repertorio di barzellette popolari, vive in quegli anni un momento di breve ma intensa produzione. Nel 1988 partecipa al fllm giallo per bambini Operazione Pappagallo opera prima del regista romano Marco Di Tillo, su sceneggiatura di Piero Chiambretti, Claudio Delle Fratte e dello stesso Marco Di Tillo (nel cast della pellicola figurano anche Leo Gullotta, Syusy Blady, Didi Perego e Nicola Pistoia). In quel film, per la prima volta nella sua vita, non viene doppiato ma parla con la sua voce (che ha grande inflessione sarda, lui che invece era sempre stato doppiato in siciliano).

Nel 2001, al fianco di Nino Manfredi, Murgia interpreta un ruolo secondario nel film di Diego Febbraro Una milanese a Roma, e prende inoltre parte alla commedia di Vincenzo Terracciano Ribelli per caso, assieme ad Antonio Catania. Nel 2008 interpreta una piccola parte nel film Chi nasce tondo di Alessandro Valori, al fianco di Valerio Mastandrea.

Alla fine del 2004 l'attore dà alle stampe la propria autobiografia "Il Solito Ignoto" scritta con la collaborazione del giornalista Sergio Sciarra. L'uscita del libro lo riconduce alla ribalta grazie all'attenzione dei mass media e di alcuni critici cinematografici, da Tullio Kezich a Tatti Sanguineti a Roberto Silvestri, che salutano le sue memorie prive di buonismo con molto entusiasmo. La sortita editoriale culmina nel 2006 con l'adozione dell'autobiografia come libro di testo all'Università "La Sapienza" di Roma nel corso di storia del cinema italiano tenuto dal professor Orio Caldiron.

Malato da tempo di Alzheimer, Murgia si è spento in una casa di cura per anziani a Tolfa il 20 agosto 2010, ultimo sopravvissuto tra i protagonisti maschili de I soliti ignoti. Nel 2012 è stato realizzato il documentario "L'insolito ignoto - Vita acrobatica di Tiberio Murgia" (a cura di Sergio Naitza) che ripercorre la vita dell'attore e raccoglie un'intervista inedita a poche settimane dalla morte.

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